Question

如圖，△OAB是邊長為2的正三角形，記△OAB位于直線x=t（t＞0）左側的圖形的面積為f（t）．試求函數f（t）的解析式，并畫出函數y=f（t）的圖象．

Answer 1

分析：在求f（t）的解析式時，關鍵是要根據圖象，對t的取值進行恰當的分類，然后分類討論，給出分段函數的解析式后，再根據解析式畫出函數的圖象．

解答：解：（1）當0＜t≤1時，
如圖，設直線x=t與△OAB分別交于C、D兩點，則|OC|=t，
又

CD

OC

=

BC

OE

=

3

，∴|CD|=

3

t，
∴f(t)=

1

2

|OC|•|CD|=

1

2

•t•

3

t=

3

2

t2
（2）當1＜t≤2時，
如圖，設直線x=t與△OAB分別交于M、N兩點，則|AN|=2-t，
又

|MN|

|AN|

=

|BE|

|AE|

=

3

1

=

3

，∴|MN|=

3

(2-t)
∴f(t)=

1

2

•2•

3

-

1

2

•|AN|•|MN|=

3

-

3

2

(2-t)2=-

3

2

t2+2

3

t-

3

（3）當t＞2時，f(t)=

3

綜上所述f(t)=

3 2 t2，0＜t≤1 - 3 2 t2+2 3 t- 3 ，1＜t≤2 3 ，t＞2

點評：分段函數的對應關系是借助于幾個不同的表達式來表示的，處理分段函數的問題時，首先要確定自變量的數值屬于哪一個區間段，從而選相應的關系式．對于分段函數，注意處理好各段的端點．