Question

如圖，△OAB是邊長為2的正三角形，記△OAB位于直線x=t（t＞0）左側的圖形的面積為f（t）．
（1）求函數f（t）解析式；
（2）畫出函數y=f（t）的圖象；
（3）當函數g（t）=f（t）-at有且只有一個零點時，求a的值．

Answer 1

分析：（1）利用分段函數，求函數f（t）的解析式．
（2）利用（1）的解析式作出函數的圖象．（3）求出g（t）=f（t）-at的表達式，利用g（t）=f（t）-at有且只有一個零點時，求a的值．

解答：解：（1）當0＜t≤1時，f(t)=

3

2

t²       （1分）
當1＜t≤2時，f(t)=

3

-

3

2

(2-t)2    （2分）
當t＞2時，f(t)=

3

                  （3分）
所以f(t)=

3 2 t2，0＜t≤1 3 - 3 2 (2-t)2，1＜t≤2 3 ，t＞2

     （4分）
（2）畫圖象（4分），如圖：（其中圖形（3分），規范1分）
（3）當0＜t≤1時，g(t)=

3

2

t2-at，由g(t)=

3

2

t2-at=0，解得t=

2a

3

因為0＜t≤1，所以0＜

2a

3

≤1，即0＜a≤

3

2

                           （9分）
當a=

3

2

時，直線y=at過點(1，

3

2

)，(2，

3

)，這兩點都在f（t）的圖象上
當0＜a＜

3

2

時，直線y=at與射線y=

3

有一個交點     （10分）
當1＜t≤2時，直線y=a（a＞

3

2

）逆時針旋轉時與f（t）圖象有兩個交點，相切時有一個交點，且與射線y=

3

無交點．（11分）
此時

3

-

3

2

(2-t)2-at=0，所以 t2-(4-

2 3

3

a)t+2=0，
所以△=(4-

2 3

3

a)2-8=0，解得a=2

3

-

6

或a=2

3

+

6

．（12分）
當a=2

3

-

6

時，t2-2

2

t+2=0，所以t=

2

在（1，2]內．
當a=2

3

+

6

．時t=-

2

不在（1，2]內，（13分）
當a≤0或a＞2

3

-

6

時，直線y=at與f（t）的圖象無交點
所以a=2

3

-

6

．（14分）

點評：本題主要考查了分段函數的求法以及函數零點的應用，綜合性較強，運算量較大．