Question

19．如圖，已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1（a＞1）$的長軸長是短軸長的2倍，右焦點為F，點B，C分別是該橢圓的上、下頂點，點P是直線l：y=-2上的一個動點（與y軸交點除外），直線PC交橢圓于另一點M，記直線BM，BP的斜率分別為k₁，k₂．
（1）當直線PM過點F時，求$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PM}$的值；
（2）求|k₁|+|k₂|的最小值，并確定此時直線PM的方程．

Answer 1

分析 （1）先求出橢圓的方程及焦點坐標，進而可得直線PM的方程，聯立直線方程，可得M點坐標，進而可得$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PM}$的值；
（2）設P（m，-2），由基本不等式可得|k₁|+|k₂|的最小值時，$m=±2\sqrt{3}$，進而可得直線PM的方程．

解答 解：（1）由橢圓$\frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1（a＞1）$的長軸長是短軸長的2倍得a=2．…（1分）
由題意B（0，1），C（0，-1），焦點$F（\sqrt{3}，0）$，
當直線PM過點F時，則直線PM的方程為$\frac{x}{{\sqrt{3}}}+\frac{y}{-1}=1$，即$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x-1$，
令y=-2得$x=-\sqrt{3}$，則$P（-\sqrt{3}，-2）$．…（3分）
聯立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+{y^2}=1\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x-1\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{8\sqrt{3}}}{7}\\ y=\frac{1}{7}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=-1\end{array}\right.$（舍），即$M（\frac{{8\sqrt{3}}}{7}，\frac{1}{7}）$．…（4分）
因為$\overrightarrow{PB}=（\sqrt{3}，3）$，$\overrightarrow{PM}=（\frac{{15\sqrt{3}}}{7}，\frac{15}{7}）$，…（5分）
所以$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PM}=\frac{45}{7}+\frac{45}{7}=\frac{90}{7}$．…（6分）
（2）設P（m，-2），且m≠0，則直線PM的斜率為$k=\frac{-1-（-2）}{0-m}=-\frac{1}{m}$，
則直線PM的方程為$y=-\frac{1}{m}x-1$，…（7分）
聯立$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{m}x-1\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$化簡得$（1+\frac{4}{m^2}）{x^2}+\frac{8}{m}x=0$，解得$M（-\frac{8m}{{{m^2}+4}}，\frac{{4-{m^2}}}{{{m^2}+4}}）$，…（8分）
所以${k_1}=\frac{{\frac{{4-{m^2}}}{{{m^2}+4}}-1}}{{-\frac{8m}{{{m^2}+4}}}}=\frac{{-2{m^2}}}{-8m}=\frac{1}{4}m$，${k_2}=\frac{1-（-2）}{0-m}=-\frac{3}{m}$，…（10分）
則$|{k_1}|+|{k_2}|=|-\frac{3}{m}|+|\frac{1}{4}m|≥2\sqrt{\frac{3}{4}}=\sqrt{3}$，當且僅當$|-\frac{3}{m}|=|\frac{1}{4}m|$，即$m=±2\sqrt{3}$時取等號．
所以|k₁|+|k₂|的最小值為$\sqrt{3}$．
此時直線PM的方程為$y=±\frac{{\sqrt{3}}}{6}x-1$．…（12分）

點評 本題考查的知識點是橢圓的標準方程，橢圓的性質，直線與橢圓的位置關系，向量的數量積，基本不等式，難度中檔．