Question

11．已知關于x的函數f（x）=x²-2$\sqrt{b}x+{a^2}$，若點（a，b）是區域$\left\{\begin{array}{l}x+y-6≤0\\ x＞0\\ y＞0\end{array}$內的隨機點，則函數f（x）在R上有零點的概率為（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{11}{27}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{5}{27}$

Answer 1

分析 根據條件求出函數有零點的取值范圍，利用幾何概型的概率公式，求出相應的面積即可得到結論．

解答 解：若函數f（x）在R上有零點，
則滿足判別式△=4b-4a²≥0，即b＞a²
區域$\left\{\begin{array}{l}x+y-6≤0\\ x＞0\\ y＞0\end{array}$的面積S=$\frac{1}{2}×6×6$=18，
由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{x+y-6=0}\end{array}\right.$，解得x=2，y=4，即（2，4），
則函數f（x）在R上有零點，區域的面積S=${∫}_{0}^{2}（6-x-{x}^{2}）dx$=$（6x-\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{3}{x}^{3}）{|}_{0}^{2}$=$\frac{22}{3}$，
∴根據幾何概型的概率公式可知函數f（x）在R上有零點的概率為$\frac{11}{27}$，
故選：B．

點評 本題主要考查幾何概型的概率計算，以及利用積分求區域面積，屬于中檔題．