Question

1．已知m＞0，n＞0，向量$\overrightarrow{a}$=（m，1），$\overrightarrow{b}$=（1，n-1），且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，則$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$的最小值是（　　）

• A． $2\sqrt{2}$
• B． 2
• C． $3+2\sqrt{2}$
• D． $4+2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用向量的數量積為0，求出m，n的方程，然后利用基本不等式求解表達式的最小值即可．

解答 解：m＞0，n＞0，向量$\overrightarrow{a}$=（m，1），$\overrightarrow{b}$=（1，n-1），且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，
可得：m+n=1，
則$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$=（$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$）（m+n）=3+$\frac{n}{m}$+$\frac{2m}{n}$≥3+2$\sqrt{\frac{n}{m}×\frac{2m}{n}}$=3+2$\sqrt{2}$．
當且僅當：m+n=1，n=$\sqrt{2}m$時，表達式取得最小值3+2$\sqrt{2}$．
故選：C．

點評 本題考查向量的數量積以及基本不等式在最值中的應用，考查轉化思想以及計算能力．