Question

11．已知函數f（x）=lnx-kx+1．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）若f（x）≤0恒成立，試確定實數k的取值范圍；
（3）證明：$\frac{ln2}{3}+\frac{ln3}{4}+…+\frac{lnn}{n+1}＜\frac{{n（{n-1}）}}{4}（{n∈{N_+}，n＞1}）$．

Answer 1

分析 （1）求出函數的定義域，導數，利用導函數的符號，求解函數的單調區間即可．
（2）利用（1）的結論，通過函數的最大值，轉化求解即可．
（3）由（2）知，f（x）在（1，+∞）上是減函數，f（1）=0，即lnx＜x-1，在x∈[2，+∞）上恒成立，令x=n²，則lnn²＜n²-1，即2lnn＜（n-1）（n+1），然后化簡求解即可．

解答 解：（1）函數f（x）的定義域為$（{0，+∞}），f'（x）=\frac{1}{x}-k$，當k≤0時，$f'（x）=\frac{1}{x}-k＞0，f（x）$在（0，+∞）上是增函數，當k＞0時，若$x∈（{0，\frac{1}{k}}）$時，有$f'（x）=\frac{1}{x}-k＞0$，若$x∈（{\frac{1}{k}，+∞}）$時，有$f'（x）=\frac{1}{x}-k＜0$，則f（x）在$（{0，\frac{1}{k}}）$上是增函數，在$（{\frac{1}{k}，+∞}）$上是減函數．
（2）由（1）知k≤0時，f（x）在（0，+∞）上是增函數，而f（1）=1-k＞0，f（x）≤0不成立，故k＞0，又由（1）知f（x）的最大值為$f（{\frac{1}{k}}）$，要使f（x）≤0恒成立，則$f（{\frac{1}{k}}）≤0$即可，即-lnk≤0，得k≥1．
（3）由（2）知，當k=1時，有f（x）≤0在（0，+∞）恒成立，且f（x）在（1，+∞）上是減函數，f（1）=0，即lnx＜x-1，在x∈[2，+∞）上恒成立，令x=n²，則lnn²＜n²-1，即2lnn＜（n-1）（n+1），從而$\frac{lnn}{n+1}＜\frac{n-1}{2}，\frac{ln2}{3}+\frac{ln3}{4}+\frac{ln4}{5}+…+\frac{lnn}{n+1}＜\frac{1}{2}+\frac{2}{2}+\frac{3}{2}+…+\frac{n-1}{2}=\frac{{n（{n-1}）}}{4}$得證．

點評 本題考查函數的導數的綜合應用，函數的單調性以及函數的最值的求法，考查轉化思想以及計算能力．