Question

16．已知函數(shù)f（x）=sin（2x+φ₁），g（x）=cos（4x+φ₂），|φ₁|≤$\frac{π}{2}$，|φ₂|≤$\frac{π}{2}$．
命題?①：若直線x=φ是函數(shù)f（x）和g（x）的對(duì)稱軸，則直線x=$\frac{1}{2}$kπ+φ（k∈Z）是函數(shù)g（x）的對(duì)稱軸；
命題?②：若點(diǎn)P（φ，0）是函數(shù)f（x）和g（x）的對(duì)稱中心，則點(diǎn)Q（${\frac{kπ}{4}$+φ，0）（k∈Z）是函數(shù)f（x）的中心對(duì)稱．（　　）

• A． 命題①②??都正確
• B． 命題①②??都不正確
• C． 命題?①正確，命題?②不正確
• D． 命題?①不正確，命題?②正確

Answer 1

分析 根據(jù)題意求出函數(shù)f（x）、g（x）的對(duì)稱軸與對(duì)稱中心，再判斷命題①、②是否正確．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=sin（2x+φ₁），g（x）=cos（4x+φ₂），|φ₁|≤$\frac{π}{2}$，|φ₂|≤$\frac{π}{2}$；
∴函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸為2x+φ₁=kπ+$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{4}$-φ₁，k∈Z，
對(duì)稱中心為（$\frac{1}{2}$kπ-φ₁，0），
函數(shù)g（x）的對(duì)稱軸為4x+φ₂=kπ，即x=$\frac{1}{4}$kπ-φ₂，k∈Z，
對(duì)稱中心為（$\frac{1}{4}$kπ+$\frac{π}{8}$-φ₂，0），
∵直線x=φ是函數(shù)f（x）和g（x）的對(duì)稱軸，
∴直線x=$\frac{1}{2}$kπ+φ（k∈Z）是函數(shù)g（x）的對(duì)稱軸，命題①正確；
∵點(diǎn)P（φ，0）是函數(shù)f（x）和g（x）的對(duì)稱中心，
則點(diǎn)Q（${\frac{kπ}{4}$+φ，0）（k∈Z）不一定是函數(shù)f（x）的中心對(duì)稱，命題②錯(cuò)誤．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，是較難的題目．