Question

1．在△ABC中，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=16，sinA=sinBcosC，D是線段AB上的動點（含端點），則$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DC}$的取值范圍是[-4，0]．

Answer 1

分析 由sinA=sinBcosC可得△ABC是以B為直接的直角三角形，畫出圖形，建立直角坐標系，設出D的坐標，把$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DC}$轉化為二次函數求最值．

解答 解：由sinA=sinBcosC，得a=b$•\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，即a²+c²=b²，
∴△ABC是以B為直接的直角三角形，如圖，
∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=16，∴bccosA=16，即c²=16，c=4．
以BC所在直線為x軸，以BA所在直線為y軸建系，
則A（0，4），D（0，t）（0≤t≤4），C（a，0），
∴$\overrightarrow{DA}=（0，4-t），\overrightarrow{DC}=（a，-t）$，
∴$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{DC}$=t²-4t=（t-2）²-4∈[-4，0]．
故答案為：[-4，0]．

點評 本題考查平面向量的數量積運算，考查數學轉化思想方法和數形結合的解題思想方法，是中檔題．