Question

13．已知函數f（x）=mlnx+$\frac{3}{2}$x²-4x．
（I）若曲線y=f（x）在x=1處的切線與y軸垂直，求函數f（x）的極值；
（II）設g（x）=x³-4，若h（x）=f（x）-g（x）在（1，+∞）上單調遞減，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，根據f′（1）=0，解得m，代入f（x），求出函數的單調區間，進而求出函數的極值；
（Ⅱ）求出函數h（x）的導數，問題轉化為m≤3x³-3x²+4x在（1，+∞）上恒成立，令φ（x）=3x³-3x²+4x，根據函數的單調性求出m的范圍

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=mlnx+$\frac{3}{2}$x²-4x可得f′（x）=$\frac{m}{x}$+3x-4，
由題意知f'（1）=m+3-4=0，解得m=1，
所以f（x）=lnx+$\frac{3}{2}$x²-4x，f′（x）=$\frac{（3x-1）（x-1）}{x}$，（x＞0）．
當f'（x）＞0時，得0＜x＜$\frac{1}{3}$或x＞1；
當f'（x）＜0時，得$\frac{1}{3}$＜x＜1．
所以f（x）的單調遞增區間為（0，$\frac{1}{3}$），（1，+∞），單調遞減區間為（$\frac{1}{3}$，1），
所以f（x）的極大值為f（$\frac{1}{3}$）=ln$\frac{1}{3}$+$\frac{3}{2}$×$\frac{1}{9}$-4×$\frac{1}{3}$=-$\frac{7}{6}$-ln3，
極小值為f（1）=0+$\frac{3}{2}$-4=-$\frac{5}{2}$…（4分）
（Ⅱ）由h（x）=f（x）-g（x）=mlnx+$\frac{3}{2}$x2-4x-x3+4，
可得h′（x）=$\frac{m}{x}$+3x-4-3x²，
由h（x）在（1，+∞）上單調遞減可得h′（x）=$\frac{m}{x}$+3x-4-3x²≤0在（1，+∞）上恒成立，
即m≤3x³-3x²+4x在（1，+∞）上恒成立，
令φ（x）=3x³-3x²+4x，則φ'（x）=9x²-6x+4=（3x-1）²+3＞0，
所以φ（x）=3x³-3x²+4x在（1，+∞）上單調遞增．
故φ（x）＞3-3+4=4，
所以m≤4，即實數m的取值范圍是（-∞，4]，…（8分）．

點評 本題考查了曲線的切線方程問題，考查函數的單調性、極值問題，考查導數的應用，是一道綜合題．