Question

設A、B分別為橢圓＝1(a>b>0)的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且直線x＝4是它的右準線．
(1)求橢圓的方程；
(2)設P為橢圓右準線上不同于點(4，0)的任意一點，若直線BP與橢圓相交于兩點B、N，求證：∠NAP為銳角．

Answer 1

（1）＝1（2）見解析

(1)解：依題意，得解得從而b＝，故橢圓的方程為＝1.
(2)證明：由(1)得A(－2，0)，B(2，0)，設N(x₀，y₀)，
∵N點在橢圓上，∴＝(4－)．又N點異于頂點A、B，
∴－2<x₀<2，y₀≠0.由P、B、N三點共線可得P，從而＝(x₀＋2，y₀)，＝，則·＝6x₀＋12＋＝6x₀＋12－(2＋x₀)＝(x₀＋2)．
∵x₀＋2>0，y₀≠0，∴·>0，于是∠NAP為銳角．