Question

已知，點依次滿足。

(1)求點的軌跡；

(2)過點作直線交以為焦點的橢圓于兩點，線段的中點到軸的距離為，且直線與點的軌跡相切，求該橢圓的方程；

(3)在(2)的條件下，設點的坐標為，是否存在橢圓上的點及以為圓心的一個圓，使得該圓與直線都相切，如存在，求出點坐標及圓的方程，如不存在，請說明理由.

 

Answer 1

(1) 以原點為圓心，1為半徑的圓， (2) （3）存在點，其坐標為或.

【解析】

試題分析：(1)求動點軌跡方程，分四步.第一步，設動點坐標第二步建立等量關系： 第三步化簡等量關系： 第四步，去雜.求軌跡，不僅求出軌跡方程，而且說明軌跡形狀.(2)求橢圓標準方程，一般利用待定系數法. 設直線的方程為橢圓的方程由與圓相切得：由直線的方程與橢圓方程聯立方程組得：所以，∴（3）存在性問題，一般從假設存在出發，列等量關系，將存在性問題轉化為方程是否有解問題. 假設，： ： ,

又，解得： 或 （舍）.

解析：(1) 設

所以，點的軌跡是以原點為圓心，1為半徑的圓. 4分

(2)設直線的方程為 ①

橢圓的方程 ②

由與圓相切得： 6分

將①代入②得：，

又，可得，

有，∴，.

∴ 9分

(3) 假設存在橢圓上的一點，使得直線與以Q為圓心的圓相切，

則Q到直線的距離相等,

：

：

12分

化簡整理得：

∵ 點在橢圓上，∴

解得： 或 （舍）

時，，， 15分

∴ 橢圓上存在點，其坐標為或，使得直線與以Q為圓心的圓相切 16分

考點：動點軌跡方程，直線與橢圓位置關系