Question

20．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左頂點為A，右焦點為F，上頂點為B，下頂點為C，若直線AB與直線CF的交點為（3a，16）．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）點P（m，0）為橢圓C的長軸上的一個動點，過點P且斜率為$\frac{4}{5}$的直線l交橢圓C于S，T兩點，證明：|PS|²+|PT|²為定值．

Answer 1

分析 （1）推導出直線AB的方程為y=$\frac{b}{a}x+b$，直線CF的方程為y=$\frac{b}{a}x$-b．把點（3a，16）分別代入直線的方程$\left\{\begin{array}{l}{16=\frac{b}{a}×3a+b}\\{16=\frac{b}{c}×3a-b}\end{array}\right.$，b=4，且3a=5c，由此能求出橢圓的標準方程．
（2）設直線的方程為x=$\frac{5}{4}y+m$，代入$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}$=1，得：25y²+20my+8（m²-25）=0，由此利用韋達定理、弦長公式，結合已知條件能證明PS|²+|PT|²是定值．

解答 解：（1）由橢圓C的左頂點A（-a，0），上下頂點坐標為B（0，b），C（0，-b），
右焦點為F（c，0），則直線AB的方程為y=$\frac{b}{a}x+b$，
直線CF的方程為y=$\frac{b}{a}x$-b．
又∵直線AB與直線CF的交點為（3a，16），
把點（3a，16）分別代入直線的方程$\left\{\begin{array}{l}{16=\frac{b}{a}×3a+b}\\{16=\frac{b}{c}×3a-b}\end{array}\right.$，
解得b=4，且3a=5c，
又∵a²=b²+c²，解得a=5，
∴橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}$=1．
（2）設直線的方程為x=$\frac{5}{4}y+m$，代入$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}$=1，
并整理得：25y²+20my+8（m²-25）=0，
設S（x₁，y₁），T（x₂，y₂），則${y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{4}{5}m$，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{8（{m}^{2}-25）}{25}$，
又∵|PS|²=（x₁-m）²+y₁²=$\frac{41}{6}{{y}_{1}}^{2}$，
同理，|PT|²=$\frac{41}{6}{{y}_{2}}^{2}$，
則|PS|²+|PT|²=$\frac{41}{16}（{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}）$=$\frac{41}{16}[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-2{y}_{1}{y}_{2}]$=$\frac{41}{16}[（-\frac{4m}{5}）^{2}-\frac{16（{m}^{2}-25）}{25}]$=41，
∴|PS|²+|PT|²是定值．

點評 本題考查橢圓方程求法，考查兩線段和平方和為定值的證明，考查橢圓、韋達定理、根的判別式、直線方程、弦長公式等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．