Question

17．用0，1，2，3，4，5這六個數字組成無重復數字的正整數．
（1）共有多少個四位數？
（2）其中四位偶數有多少個？
（3）比4301大的四位數有多少個？
（4））能組成多少個無重復數字且為5的倍數的五位數？
（注意：以上各小題要列出算式后再求值，否則扣分．）

Answer 1

分析 （1）先安排首位的數字，從五個非0數字中選一個，共有C₅¹種結果，余下的五個數字在三個位置進行全排列，共有A₅³種結果，根據乘法原理得到結果．
（2）要組成無重復數字的四位偶數，則末位為0，2，4中一個，且首位不能為0，所以可用分類計數，分成三類，0在個位，2在個位，4在個位，把每類的方法數計算出來，再相加即可．
（3）當首位是5時，其他幾個數字在三個位置上排列，當首位是4時，第二位是5．后兩位沒有限制，當前兩位是43時，分別寫出結果數（注意減去4301），相加得到結果．
（4）要組成無重復數字的5的倍數的五位數，則末位為0，5中一個，且首位不能為0，所以可用分類計數，分成兩類，0在個位，5在個位，把每類的方法數計算出來，再相加即可

解答 解：（1）由題意知，因為數字中有0，0不能放在首位，
∴先安排首位的數字，從五個非0數字中選一個，共有C₅¹種結果，
余下的五個數字在三個位置進行全排列，共有A₅³種結果，
根據分步計數原理知共有A¹₅•A³₅=300；
（2）第一類：0在個位時有A₅³個；第二類：2在個位時，首位從1，3，4，5中選定1個（有A₄¹種），十位和百位從余下的數字中選（有A₄²種），于是有A₄¹A₄²個；第三類：4在個位時，與第二類同理，也有A₄¹A₄²個．
共有四位偶數：A₅³+A₄¹A₄²+A₄¹A₄²=156個．
（3）當首位是5時，其他幾個數字在三個位置上排列，共有A₅³=60，
當前兩位是45時，共有A₄³=4×3=12個，
當前兩位是43時，共有A₄²=4×3=12個，去掉4301即可，即有12-1=11個．
根據分類加法原理得到共有：60+12+12-1=83個．
（4）個位數上的數字是0的五位數有A₅⁴個；個位數上的數字是5的五位數有A₄¹A₄³個．
故滿足條件的五位數的個數共有A₅⁴+A₄¹A₄³=216個．

點評 本題是考查排列組合問題，是一個綜合題，包括數字問題中可能遇到的所有情況，同學們注意分析問題，加以比較，爭取做到舉一反三．