Question

已知數列{a_n}是各項均為正數的等比數列，且前18項的積a₁•a₂…a₁₈=2²⁷
（1）若a₅+a₁₄=9，求公比q
（2）若公比q=2，求a₃•a₆•a₉•a₁₂•a₁₅•a₁₈．

Answer 1

考點：等比數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）利用等比數列的性質求出a₅•a₁₄的值，與a₅+a₁₄=9，解方程組求出a₅，a₁₄，然后求解公比q
（2）通過公比q=2，化簡已知條件，轉化求解a₃•a₆•a₉•a₁₂•a₁₃•a₁₈．即可．

解答： 解：（1）數列{a_n}是各項均為正數的等比數列，且前18項的積a₁•a₂…a₁₈=2²⁷，
則a₁₈•a₁₇…a₁=2²⁷，兩式相乘可得：（a₁•a₁₈）¹⁸=2⁵⁴，即（a₅•a₁₄）¹⁸=2⁵⁴，
可得a₅•a₁₄=8，又a₅+a₁₄=9，解得a₅=1，a₁₄=8，或a₅=8，a₁₄=1，
當a₅=1，a₁₄=8時，可得8=1•q⁹，解得q=

3	2

．
當a₅=8，a₁₄=1時，可得1=8•q⁹，解得q=

3	1 2

．
（2）前18項的積a₁•a₂…a₁₈=2²⁷，公比q=2，
可得2²⁷=a₁•a₂…a₁₈=（a₃•a₆•a₉•a₁₂•a₁₅•a₁₈）（a₁•a₄•a₇•a₁₀•a₁₃•a₁₆）（a₂•a₅•a₈•a₁₁•a₁₄•a₁₇）
=（a₃•a₆•a₉•a₁₂•a₁₅•a₁₈）（a₃•a₆•a₉•a₁₂•a₁₅•a₁₈）q^-10（a₃•a₆•a₉•a₁₂•a₁₅•a₁₈）q^-5
=（a₃•a₆•a₉•a₁₂•a₁₅•a₁₈）³q^-15
=（a₃•a₆•a₉•a₁₂•a₁₅•a₁₈）³2^-15
∴（a₃•a₆•a₉•a₁₂•a₁₅•a₁₈）³=2⁴²．
a₃•a₆•a₉•a₁₂•a₁₅•a₁₈=2¹⁴．

點評：本題考查等比數列的性質數列的應用，考查分析問題解決問題的能力．