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設h是一個正整數,證明(1+h)n≥1+nh,n是任意正整數.
考點:數學歸納法
專題:點列、遞歸數列與數學歸納法,推理和證明
分析:要證明(1+h)n≥1+nh,先證明n=1時,(1+h)n≥1+nh成立,再假設n=k時,(1+h)n≥1+nh成立,進而證明出n=k+1時,(1+h)n≥1+nh也成立,即可得到對于任意正整數n:(1+h)n≥1+nh.
解答: 證明:將(1+h)n≥1+nh看成關于n的不等式,h為參數,以下用數學歸納法證明:
(ⅰ)當n=1時,原不等式成立;
當n=2時,左邊=1+2h+h2,右邊=1+2h,
因為h2≥0,所以左邊≥右邊,原不等式成立;
(ⅱ)假設當n=k時,不等式成立,即(1+h)k≥1+kh,
則當n=k+1時,
∵h是一個正整數,
∴1+h>0,于是在不等式(1+h)k≥1+kh兩邊同乘以1+h得
(1+h)k•(1+h)≥(1+kh)•(1+h)=1+(k+1)h+kh2≥1+(k+1)h,
所以(1+h)k+1≥1+(k+1)h.即當n=k+1時,不等式也成立.
綜合(ⅰ)(ⅱ)知,對一切正整數n,不等式都成立.
點評:數學歸納法常常用來證明一個與自然數集N相關的性質,其步驟為:設P(n)是關于自然數n的命題,若1)(奠基) P(n)在n=1時成立;2)(歸納) 在P(k)(k為任意自然數)成立的假設下可以推出P(k+1)成立,則P(n)對一切自然數n都成立
練習冊系列答案
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3
2
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3
2

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