Question

求證：函數f（x）=2^x-

2-x

x+1

在（0，1）內有且只有一個零點．

Answer 1

考點：函數零點的判定定理

專題：函數的性質及應用

分析：設-1＜x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=2x1-2x2+

3x1-x2

(x1+1)(x2+1)

＜0，根據x的范圍得到函數的單調性，再分別計算f（0）和f（1）的值，從而證出結論．

解答： 證明：f（x）=2^x-

2-x

x+1

=2^x+1-

3

x+1

（x≠1）．
設-1＜x₁＜x₂，
則：f（x₁）-f（x₂）=2x1-

3

x1+1

-2x2+

3

x2+1

=2x1-2x2+

3x1-x2

(x1+1)(x2+1)

．
∵-1＜x₁＜x₂，
∴2x1-2x2＜0，x₁-x₂＜0，x₁+1＞0，x₂+1＞0．
∴2x1-2x2+

3x1-x2

(x1+1)(x2+1)

＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在（-1，+∞）上是增函數．
而f（0）=2⁰-2=-1＜0，
f（1）=2¹-

1

2

=

3

2

＞0，
即f（0）•f（1）＜0．
∴函數f（x）在區間（0，1）內有零點且只有一個零點．

點評：本題考查了函數零點問題，考查用定義法證明函數的單調性問題，本題屬于中檔題．