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15.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側棱PD⊥底面ABCD,E是PC的中點.
(1)證明:PA∥平面EDB;
(2)證明:BC⊥DE.

分析 (1)連結AC,AC交BD于O,連結EO,證明PA∥EO,然后證明PA∥平面EDB.
(2)證明PD⊥BC,DC⊥BC,推出BC⊥平面PDC.然后證明BC⊥DE.

解答 證明:(1)連結AC,AC交BD于O,連結EO.…(2分)
∵底面ABCD是正方形,∴點O是AC的中點
在△PAC中,EO是中位線,∴PA∥EO       …(4分)
而EO?平面EDB且PA?平面EDB,
所以,PA∥平面EDB                      …(6分)
(2)∵PD⊥底面ABCD且BC?底面ABCD,∴PD⊥BC ①

又∵底面ABCD是正方形,有DC⊥BC         ②
其中PD∩DC=D∴BC⊥平面PDC.    …(10分)
又∵DE?平面PDC,∴BC⊥DE.   …(12分)

點評 本題考查直線與平面平行于垂直的判定定理以及性質定理的應用,考查空間想象能力以及邏輯推理能力.

練習冊系列答案
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