Question

15．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，E是PC的中點．
（1）證明：PA∥平面EDB；
（2）證明：BC⊥DE．

Answer 1

分析 （1）連結AC，AC交BD于O，連結EO，證明PA∥EO，然后證明PA∥平面EDB．
（2）證明PD⊥BC，DC⊥BC，推出BC⊥平面PDC．然后證明BC⊥DE．

解答 證明：（1）連結AC，AC交BD于O，連結EO．…（2分）
∵底面ABCD是正方形，∴點O是AC的中點
在△PAC中，EO是中位線，∴PA∥EO       …（4分）
而EO?平面EDB且PA?平面EDB，
所以，PA∥平面EDB                      …（6分）
（2）∵PD⊥底面ABCD且BC?底面ABCD，∴PD⊥BC ①

又∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC  　　　　　　 ②
其中PD∩DC=D∴BC⊥平面PDC．    …（10分）
又∵DE?平面PDC，∴BC⊥DE．   …（12分）

點評 本題考查直線與平面平行于垂直的判定定理以及性質定理的應用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力．