Question

8．若不等式$\frac{{{x^2}-8x+20}}{{m{x^2}-mx-1}}$＜0對一切x恒成立，則實數m的范圍是（　　）

• A． m＞0或m＜-4
• B． -4＜m＜0
• C． -4＜m≤0
• D． 0＜m＜4

Answer 1

分析 由不等式轉化為mx²-mx-1＜0對任意實數x恒成立，對系數m分類討論，當m=0時恒成立，當m≠0時，利用二次函數的性質，列出關于m的不等式，求解即可得到m的取值范圍．

解答 解：因為x²-8x+20=（x-4）²+4≥4，不等式$\frac{{{x^2}-8x+20}}{{m{x^2}-mx-1}}$＜0對一切x恒成立，
即不等式mx²-mx-1＜0對任意實數x恒成立，
①當m=0時，-1＜0對任意實數x恒成立，
∴m=0符合題意；
②當m≠0時，則有$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{△={m}^{2}+4m＜0}\end{array}\right.$，
解得∴-4＜m＜0，
∴實數m的取值范圍為-4＜m＜0．
綜合①②可得，實數m的取值范圍為-4＜m≤0．
故選：C．

點評 本題考查了函數的恒成立問題．對于函數的恒成立問題，一般選用參變量分離法、最值法、數形結合法進行求解．本題解題的關鍵是運用二次函數的性質進行求解，要注意對系數的討論，運用了分類討論的數學思想方法．屬于中檔題．