Question

已知，函數.設，記曲線在點處的切線為，與軸的交點是，為坐標原點.

（1）證明：；

（2）若對于任意的，都有成立，求的取值范圍.

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）求出f'（x），把代入到導函數中求出切線l的斜率，并代入到f（x）中求出，寫出切線方程，然后令y=0求出與x軸的交點橫坐標x即得證；（2）根據第一問寫出M和N的坐標，算出與的數量積，當a等于0時不等式成立，當a大于0時設等于數量積，求出導函數等于0時，的值，然后利用討論導函數的正負得到函數的單調區間，利用函數的增減性得到的最小值大于列出關于a的不等式，求出解集即可得到a的取值范圍．

試題解析：（1）【解析】
曲線在點處的切線的方程為

令，得 4分

（2）在上恒成立

設，

令，解得，

當時，取極大值

10當,即時，，滿足題設要求；

20當，即，，

若，解得.

綜上，實數的取值范圍為. 12分.

考點：1.利用導數研究曲線上某點切線方程；2.函數與方程的綜合運用；3.平面向量數量積的運算．