Question

19．已知曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=3+\sqrt{5}cosα\\ y=1+\sqrt{5}sinα\end{array}$（α為參數），以直角坐標系原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系．
（1）求曲線C的極坐標方程；
（2）若直線的極坐標方程為sinθ-cosθ=$\frac{1}{ρ}$，求直線被曲線C截得的弦長．

Answer 1

分析 （1）求出曲線C的普通方程為（x-3）²+（y-1）²=5，即可將$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$代入并化簡，求曲線C的極坐標方程；
（2）直角坐標方程為y-x=1，求圓心C到直線的距離，即可求出直線被曲線C截得的弦長．

解答 解：（1）∵曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=3+\sqrt{5}cosα\\ y=1+\sqrt{5}sinα\end{array}\right.$（α為參數），
∴曲線C的普通方程為（x-3）²+（y-1）²=5，
曲線C表示以（3，1）為圓心，$\sqrt{5}$為半徑的圓，
將$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$代入并化簡：ρ²-6ρcosθ-2ρsinθ+5=0．
（2）直角坐標方程為y-x=1，
∴圓心C到直線的距離為$d=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，∴弦長為$\sqrt{2}$．

點評 本題考查圓的參數方程、普通方程、極坐標方程，考查直線與圓的位置關系，屬于中檔題．