Question

9．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+3a，x＜0\\{log_a}（{x+1}）+1，x≥0\end{array}$（a＞0且a≠1）在R上單調遞減，且關于x的方程|f（x）|=2-x恰好有兩個不相等的實數解，則a的取值范圍是$[{\frac{1}{3}，\frac{2}{3}}]∪\left\{{\frac{3}{4}}\right\}$．

Answer 1

分析 由y=log_a（x+1）+1在[0，+∞） 上遞減，得0＜a＜1，由f（x）在R上單調遞減，得a$≥\frac{1}{3}$，作出函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+3a，x＜0\\{log_a}（{x+1}）+1，x≥0\end{array}$（a＞0且a≠1）在R上的大致圖象，利用數形結合思想能求出a的取值范圍．

解答 解：由y=log_a（x+1）+1在[0，+∞） 上遞減，得0＜a＜1，
又由f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+3a，x＜0\\{log_a}（{x+1}）+1，x≥0\end{array}$（a＞0且a≠1）在R上單調遞減，
得0²+3a≥f（0）=1，解得a$≥\frac{1}{3}$，
作出函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+3a，x＜0\\{log_a}（{x+1}）+1，x≥0\end{array}$（a＞0且a≠1）在R上的大致圖象，
由圖象可知，在[0，+∞） 上，|f（x）|=2-x 有且僅有一個解，
故在（-∞，0）上，|f（x）|=2-x 同樣有且僅有一個解，
當3a＞2，即a＞$\frac{2}{3}$ 時，聯立|x²+3a|=2-x，
則△=1²-4（3a-2）=0，解得：$a=\frac{3}{4}$，
當1≤3a≤2 時，由圖象可知，符合條件．
綜上：a∈[$\frac{1}{3}，\frac{2}{3}$]∪{$\frac{3}{4}$}．
故答案為：[$\frac{1}{3}，\frac{2}{3}$]∪{$\frac{3}{4}$}．

點評 本題考查實數的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意函數性質及數形結合思想的合理運用．