Question

已知兩圓C₁：x²+y²=4，C₂：x²+y²-2x-4y+4=0，直線l：x+2y=0，
（1）求經(jīng)過圓C₁、C₂的交點(diǎn)且和直線l相切的圓的方程；
（2）若實(shí)數(shù)x，y滿足（1）中所求圓的方程，求

y

x

的最大值，2y-x的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：直線與圓

分析：（1）聯(lián)立方程組求得兩個(gè)圓的交點(diǎn)，設(shè)圓心的坐標(biāo)為M（a，b），則由MA=MB，還等于M到直線直線l：x+2y=0的距離求得a、b的值，可得圓心和半徑MA，從而求得圓的方程．
（2）分別設(shè)k=

y

x

，2y-x=b，利用到直線和圓相切時(shí)得到最值即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）由

x2+y2=4 x2+y2-2x-4y+4=0

解得

x=0 y=2

或

x= 8 5 y= 6 5

，
故兩個(gè)圓的交點(diǎn)為A（0，2）、B（

8

5

，

6

5

），
設(shè)圓心的坐標(biāo)為M（a，b），則由MA=MB，還等于M到直線直線l：x+2y=0的距離．
可得

a2+(b-2)2

=

(a- 8 5 )2+(b- 6 5 )2

=

|a+2b|

5

，
解得a=

1

2

，b=1，
故半徑MA=

5 4

=

5

2

，
故要求的圓的方程為（x-

1

2

）²+（y-1）²=

5

4

．
（2）設(shè)k=

y

x

，則直線方程為kx-y=0，
當(dāng)直線和圓相切時(shí)，
則圓心（

1

2

，1）到直線的距離d=R，
即d=

| 1 2 k-1|

1+k2

=

5

2

，即|k-2|=

5

•

1+k2

，
解得k=-

1

2

，
設(shè)2y-x=b，則直線方程為x-2y+b=0，
當(dāng)直線和圓相切時(shí)，則圓心（

1

2

，1）到直線的距離d=R，
則d=

| 1 2 -2+b|

5

=

5

2

，
即|b-

3

2

|=

5

2

，
解得b=4或b=-1，
故2y-x的最小值為-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓的方程的求解，以及利用直線和圓相切的位置關(guān)系求參數(shù)問題．綜合考查圓的性質(zhì)．