Question

數列{a_n}的首項為1，且滿足a_n≥1，a²_n+1+a²_n+1=2（a_n+1+a_n）+2a_n+1a_n（n∈N⁺）
（1）求a₂、a₃的值；
（2）若{a_n}為單調遞增數列，求{a_n}的通項；
（3）設b_n=（-1）ⁿa_n，S_n為數列{b_n}的前n項和，求S_2n的最小值，并求S₈的最小值．

Answer 1

考點：數列的求和,數列的函數特性,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由首項為1，且滿足a_n≥1，a²_n+1+a²_n+1=2（a_n+1+a_n）+2a_n+1a_n（n∈N⁺），依次求出a₂、a₃的值；
（2）利用完全平方公式化簡a²_n+1+a²_n+1=2（a_n+1+a_n）+2a_n+1a_n（n∈N⁺），由{a_n}為單調遞增數列、a_n≥1化簡得：

an+1

-

an

=1，由等差數列的定義判斷數列{

an

}是1為首項、公差的等差數列，由等差數列的通項公式求出{a_n}的通項；
（3）由（2）和題意求出b_n，代入S_2n利用平方差公式化簡，由等差數列的前n項和公式化簡，由二次函數的性質求出S_2n的最小值．

解答： 解：（1）因為首項為1，且滿足a_n≥1，a²_n+1+a²_n+1=2（a_n+1+a_n）+2a_n+1a_n（n∈N⁺）
所以a²₂+a²₁+1=2（a₂+a₁）+2a₂a₁，解得a₂=4或0（舍去），
a²₃+a²₂+1=2（a₃+a₂）+2a₃a₂，解得a₃=9或1（舍去），
則a₂、a₃的值是4、9；
（2）因為a²_n+1+a²_n+1=2（a_n+1+a_n）+2a_n+1a_n，
所以（a_n+1+a_n）²+1=2（a_n+1+a_n）+4a_n+1a_n，
（a_n+1+a_n）²-2（a_n+1+a_n）+1=4a_n+1a_n，
（a_n+1+a_n-1）²=4a_n+1a_n，
因為a_n≥1，{a_n}為單調遞增數列，
所以a_n+1+a_n-1=2

an+1an

，即a_n+1+a_n-2

an+1an

=1，
(

an+1

-

an

)2=1，則

an+1

-

an

=1，
所以數列{

an

}是1為首項、公差的等差數列，
則

an

=1+（n-1）=n，所以an=n2；
（3）由（2）得，b_n=（-1）ⁿa_n=（-1）ⁿn²，
所以S_2n=（-1+2²）+（-3²+4²）+…+[-（2n-1）²+（2n）²]
=（1+2）+（3+4）+…+（2n-1+2n）
=

2n(1+2n)

2

=n（1+2n）=2n²+n，
所以S_2n的有最小值，當n=1時最小值是3．

點評：本題考查數列的遞推公式的化簡，等差數列的定義、通項公式、前n項和公式，以由二次函數的性質求數列前n項和的最值，考查化簡能力，分析問題、解決問題的能力．