Question

在數列{a_n}中，a₁=1，當n≥2時，其前n項和S_n滿足：2S_n²=a_n（2S_n-1）．
（Ⅰ）求證：數列{

1

Sn

}是等差數列，并用n表示S_n；
（Ⅱ）令b_n=

Sn

2n+1

，數列{b_n}的前n項和為T_n．求使得2T_n（2n+1）≤m（n²+3）對所有n∈N^*都成立的實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）當n≥2時，其前n項和S_n滿足：2S_n²=a_n（2S_n-1）．可得2

S

2 n

=(Sn-Sn-1)(2Sn-1)，化為

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，利用等差數列的通項公式即可得出．
（II）b_n=

Sn

2n+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用“裂項求和”可得T_n，再化簡整理利用數列的單調性即可得出．

解答： （Ⅰ）證明：當n≥2時，其前n項和S_n滿足：2S_n²=a_n（2S_n-1）．
∴2

S

2 n

=(Sn-Sn-1)(2Sn-1)，
化為

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，
∴數列{

1

Sn

}是等差數列，
∴

1

Sn

=1+2(n-1)=2n-1，
∴S_n=

1

2n-1

．
（II）b_n=

Sn

2n+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴數列{b_n}的前n項和為T_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．
∴2T_n（2n+1）≤m（n²+3）化為m≥

2n

n2+3

，
∵

2n

n2+3

=

2

n+ 3 n

＜

2

2+ 3 2

=

4

7

．
∴m≥

4

7

．
使得2T_n（2n+1）≤m（n²+3）對所有n∈N^*都成立的實數m的取值范圍是[

4

7

，+∞)．

點評：本題考查了遞推式的意義、等差數列的通項公式、“裂項求和”、數列的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．