Question

已知定義域是R上的函數f（x）在[0，+∞）上單調遞增，若x∈[

1

2

，1]時，不等式f（1+xlog₂7•log₇a）≤f（x-2）恒成立，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數單調性的性質,對數的運算性質

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：f定義域是R的函數f（x）在[0，+∞）上單調遞增，x∈[

1

2

，1]時，不等式f（1+xlog₂7•log₇a）≤f（x-2）恒成立，可得x∈[

1

2

，1]時，1+xlog₂7•log₇a≤x-2，化為log₇a≤

x-3

x

log₇2，再利用函數的單調性即可得出．

解答： 解：∵定義域是R的函數f（x）在[0，+∞）上單調遞增，x∈[

1

2

，1]時，不等式f（1+xlog₂7•log₇a）≤f（x-2）恒成立，
∴x∈[

1

2

，1]時，1+xlog₂7•log₇a≤x-2，
∴log₇a≤

x-3

x

log₇2，
∵x∈[

1

2

，1]，
∴

x-3

x

∈[-5，-2]
∴0≤a≤

1

32

，
故答案為：0≤a≤

1

32

．

點評：本題考查了函數的奇偶性與單調性，考查學生的計算能力，屬于中檔題．