Question

已知四棱錐P-ABCD，側面PAD⊥底面ABCD，側面PAD為等邊三角形，底面ABCD為菱形，且∠DAB=

π

3

．
（Ⅰ）求證：PB⊥AD；
（Ⅱ）若AB=2，求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的性質

專題：證明題,空間位置關系與距離

分析：（1）取AD中點O，連結PO，BO，由已知可得PO⊥AD，BO⊥AD，又PO∩BO=O，即可證AD⊥平面POB，從而可得PB⊥AD．
（2）先證明PO⊥AD，可得PO⊥平面ABCD，有AB=AD=2可得PO，S_ABCD的值，從而由V_P-ABCD=

1

3

PO•S_ABCD即可得解．

解答： 證明：（1）取AD中點O，連結PO，BO．
側面PAD為等邊三角形，底面ABCD為菱形且∠DAB=

π

3

∴PO⊥AD，BO⊥AD…（2分）
又PO∩BO=O，∴AD⊥平面POB…（4分）
∴PB⊥AD…（5分）
（2）側面PAD⊥底面ABCD，側面PAD∩底面ABCD=AD，
∴PO?平面ABCD，∴PO⊥AD
∴PO⊥平面ABCD…（7分）
∵AB=AD=2
∴PO=

3

，S_ABCD=2

3

…（9分）
∴V_P-ABCD=

1

3

PO•S_ABCD=

1

3

×

3

×2

3

=2
所以四棱錐P-ABCD的體積為2．…（12分）

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的性質，棱柱、棱錐、棱臺的體積的求法，考查了空間想象能力和轉換思想，屬于中檔題．