Question

判斷直線y=x+1和橢圓

x2

3

+

y2

4

=1的位置關系，若相交，求該直線截橢圓所得的弦長．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：聯立

y=x+1 x2 3 + y2 4 =1

，得7x²+6x-9=0，由此利用根的判別式推導出直線與橢圓相交，利用橢圓弦長公式能求出該直線截橢圓所得的弦長．

解答： 解：聯立

y=x+1 x2 3 + y2 4 =1

，
得7x²+6x-9=0，
△=36-4×7×（-9）=288＞0，
∴直線y=x+1和橢圓

x2

3

+

y2

4

=1相交，
設兩個交點坐標分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-

6

7

，x₁x₂=-

9

7

，
∴該直線截橢圓所得的弦長：
|AB|=

(1+1)( 36 49 +4× 9 7 )

=

24

7

．

點評：本題考查直線與橢圓的位置關系的判斷，考查直線與橢圓相交所得的弦長的求法，解題時要注意橢圓弦長公式的合理運用．