Question

6．已知點A（1，1）和點B（-1，-3）在曲線C：y=ax³+bx²+d（a，b，d為常數），若曲線在點A和點B處的切線互相平行，則a+b+d=1．

Answer 1

分析 曲線在點A和點B處的切線互相平行得，f′（1）=f′（-1），再結合點在曲線上則點的坐標適合方程，建立方程組，解方程求出a、b、d值即可．

解答 解：設f（x）═ax³+bx²+d，
∵f′（x）=3ax²+2bx，
∴f′（1）=3a+2b，f′（-1）=3a-2b．
根據題意得 3a+2b=3a-2b，∴b=0．
又點A（1，1）和點B（-1，-3）在曲線C上，
∴a+d=1，且-a+d═-3
解得：a=2，d=-1，
則a+b+d=1．
故答案為：1．

點評 此題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，同時考查兩直線平行的條件：斜率相等，是一道中檔題．