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已知
a
=（1，
3
），
b
=（
3
，-1）．
（1）證明：
a
⊥
b
；
（2）若k
a
-
b
與3
a
-k
b
平行，求實數k；
（3）若k
a
-
b
與k
a
+
b
垂直，求實數k．
分析：（1）求出兩個向量的數量積，由數量積等于0得到兩向量垂直；
（2）由向量的數乘和減法的坐標運算求出k
a
-
b
與3
a
-k
b
的坐標，然后利用向量平行的坐標表示列式求解；
（3）由向量的數乘和加法的坐標運算求出k
a
-
b
與k
a
+
b
的坐標，然后利用向量垂直的坐標表示列式求解．
解答：（1）證明：∵
a
=（1，
3
），
b
=（
3
，-1）．
∴
a
•
b
=(1，
3
)•(
3
，-1)=1×
3
+
3
×(-1)=
3
-
3
=0．
∴
a
⊥
b
；
（2）由
a
=（1，
3
），
b
=（
3
，-1）．
得：k
a
-
b
=k(1，
3
)-(
3
，-1)=(k-
3
，
3
k+1)，
3
a
-k
b
=3(1，
3
)-k(
3
，-1)=(3-
3
k，3
3
+k)．
∵k
a
-
b
與3
a
-k
b
平行，
∴(k-
3
)(3
3
+k)-(3-
3
k)(
3
k+1)=0．
解得：k=-
3
或k=
3
；
（3）由
a
=（1，
3
），
b
=（
3
，-1）．
得：k
a
-
b
=k(1，
3
)-(
3
，-1)=(k-
3
，
3
k+1)，
k
a
+
b
=k(1，
3
)+(
3
，-1)=(k+
3
，
3
k-1)．
∵k
a
-
b
與k
a
+
b
垂直，∴(k-
3
)(k+
3
)+(
3
k+1)(
3
k-1)=0．
解得：k=-1或k=1．
點評：本題考查向量的數量積判斷兩個向量的垂直關系，考查了向量的數乘、加法及減法的坐標運算，考查計算能力，是基礎題．
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（13，0）
（13，0）
．

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a
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b
=（2+λ，1），且
a
與
b
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