Question

已知A（-1，3），B（2，2），C（-3，-1）求（1）△ABC的面積（2）∠BAC的大小．

Answer 1

分析：（1）利用兩個向量的數量積公式和兩個向量的數量積的定義，求出cos∠BAC  的值，進而求得sin∠BAC 的值，代入△ABC的面積公式

1

2

×|

AB

|×|

AC

|×sin∠BAC  進行計算．
（2）由（1）知，sin∠BAC 和 cos∠BAC  的值已求出，代入 tan∠BAC=

sin∠BAC

cos∠BAC

 進行化簡可求的結果，進而求得∠BAC的大小．

解答：解：（1）∵

AB

•

AC

=（3，-1）•（-2，-4）=-6+4=-2，
|

AB

|=

10

，|

AC

|=

4+16

=2

5

，
∵

AB

•

AC

=|

AB

|×|

AC

|cos∠BAC=

10

×2

5

cos∠BAC=-2，
∴cos∠BAC=

- 2

10

，
sin∠BAC=

7 2

10

，
∴△ABC的面積為

1

2

×|

AB

|×|

AC

|×sin∠BAC=

1

2

×

10

×2

5

×

7 2

10

=7．
（2）由上可知，tan∠BAC=

sin∠BAC

cos∠BAC

=

7 2 10

- 2 10

=-7，
∴∠BAC=π-arctan7．

點評：本題考查兩個向量的數量積的定義，兩個向量的數量積的公式、三角形的面積公式的應用，同角三角函數的基本關系，以及根據三角函數值求角的大小．