Question

已知A（1，3），B（5，-2），在x軸上有一點P，若||AP|-|BP||最大，則P點坐標是

（13，0）

．

Answer 1

分析：作B點關于x軸的對稱點C（5，2），延長AC交x軸于點P₀，可得當動點P與P₀重合時，||AP|-|BP||最大．求出直線AC的方程，從而得到P₀的坐標，即得所求點P坐標．

解答：解：設B關于x軸的對稱點為C
∵B的坐標為（5，-2），∴C坐標為（5，2）
延長AC交x軸于點P₀，可得
當P與P₀不重合時，
在△PAC中，||AP|-|CP||＜|AC|=||AP₀|-|CP₀||
從而得出||AP|-|BP||=||AP|-|CP||＜||AP₀|-|CP₀||
當P與P₀重合時，||AP|-|BP||=||AP₀|-|CP₀||=|AC|
∴當動點P與P₀重合時，||AP|-|BP||最大，最大值為A、C的距離
直線AC方程為

y-3

2-3

=

x-1

5-1

，化簡得y=-

1

4

x+

13

4

令y=0，得x=13，可得P₀的坐標為（13，0）
故答案為：（13，0）

點評：本題給出兩個定點，求x軸上的動點到兩個定點的距離差的最大值．著重考查了直線的方程、直線的位置關系和兩點間距離公式的應用等知識，屬于中檔題．