Question

【題目】如圖，直線平面，垂足為，正四面體的棱長為2，，分別是直線和平面上的動點(diǎn)，且，則下列判斷：①點(diǎn)到棱中點(diǎn)的距離的最大值為；②正四面體在平面上的射影面積的最大值為．其中正確的說法是（ ）．

A.①②都正確B.①②都錯(cuò)誤C.①正確，②錯(cuò)誤D.①錯(cuò)誤，②正確

Answer 1

【答案】C

【解析】

由題意，點(diǎn)在以為直徑的球面上的點(diǎn)，所以點(diǎn)到棱中點(diǎn)的距離的最大值為點(diǎn)到球心的距離再加上球的半徑，可判斷①，當(dāng)當(dāng)與重合時(shí)，求出正四面體在在平面上的射影面積，可判斷②.

由題意，點(diǎn)在以為直徑的球面上的點(diǎn).

點(diǎn)到棱中點(diǎn)的距離，即以為直徑的球面上的點(diǎn)到棱中點(diǎn)的距離.

所以點(diǎn)到棱中點(diǎn)的距離的最大值為點(diǎn)到球心的距離再加上球的半徑.

設(shè)的中點(diǎn)為，則為以為直徑的球的球心，半徑為

所以

所以點(diǎn)到棱中點(diǎn)的距離的最大值為，故正確①.

由直線平面，且，則平面.

在正四面體中，,又，所以平面

所以在平面上的射影與平行且相等.

當(dāng)與重合時(shí)，正四面體在在平面上的射影為對角線為2的正方形.

此時(shí)射影的面積為2，所以②不正確.

故選：C