【題目】將邊長為5的菱形ABCD沿對角線AC折起,頂點B移動至處,在以點B',A,C,為頂點的四面體AB'CD中,棱AC、B'D的中點分別為E、F,若AC=6,且四面體AB'CD的外接球球心落在四面體內部,則線段EF長度的取值范圍為( )
A.B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
由題意畫出圖形,可證AC⊥平面B′ED,得到球心O位于平面B′ED與平面ACF的交線上,即直線EF上,由勾股定理結合OA=OB′,OE<EF,EF<EB′=4可得線段EF長度的取值范圍.
如圖所示:
由已知可得,AC⊥B′E,且AC⊥DE,
∴AC⊥平面B′ED,
∵E是AC的中點,
∴到點A、C的距離相等的點位于平面ACF內,
同理可知,到點B′、D的距離相等的點位于平面ACF內,
∵球心O到點A,B′,C,D的距離相等,
∴球心O位于平面B′ED與平面ACF的交線上,即直線EF上.
∴球心O落在線段EF上(不含端點E、F),
顯然EF⊥B′D,由題意EA=3,EB′=4,則OA2=OE2+9,
且OB′2=OF2+FB′2=OF2+EB′2﹣EF2=(EF﹣OE)2+16﹣EF2=OE2+16﹣2EFOE.
∵OA=OB′,
∴OE2+9=OE2+16﹣2EFOE,則,
顯然OE<EF,
∴EF,即EF
.
又EF<EB′=4,∴EF<4.
故選:B.
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【題目】已知項數為的數列
滿足條件:①
;②
;若數列
滿足
,則稱
為數列
的“關聯數列.
(1)數列1,5,9,13,17是否存在“關聯數列”?若存在,寫出其“關聯數列”,若不存在,請說明理由;
(2)若數列存在“關聯數列”
,證明:
;
(3)已知數列存在“關聯數列”
,且
,
,求數列
項數m的最小值與最大值.
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【題目】如圖,直線平面
,垂足為
,正四面體
的棱長為2,
,
分別是直線
和平面
上的動點,且
,則下列判斷:①點
到棱
中點
的距離的最大值為
;②正四面體
在平面
上的射影面積的最大值為
.其中正確的說法是( ).
A.①②都正確B.①②都錯誤C.①正確,②錯誤D.①錯誤,②正確
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【題目】已知為正整數,各項均為正整數的數列
滿足:
,記數列
的前
項和為
.
(1)若,求
的值;
(2)若,求
的值;
(3)若為奇數,求證:“
”的充要條件是“
為奇數”.
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【題目】已知是
軸上的動點(異于原點
),點
在圓
上,且
.設線段
的中點為
,當點
移動時,記點
的軌跡為曲線
.
(1)求曲線的方程;
(2)當直線與圓
相切于點
,且點
在第一象限.
(ⅰ)求直線的斜率;
(ⅱ)直線平行
,交曲線
于不同的兩點
、
.線段
的中點為
,直線
與曲線
交于兩點
、
,證明:
.
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【題目】某市為提升中學生的數學素養,激發學生學習數學的興趣,舉辦了一次“數學文化知識大賽”,分預賽和復賽兩個環節.已知共有8000名學生參加了預賽,現從參加預賽的全體學生中隨機地抽取100人的預賽成績作為樣本,得到如下頻率分布直方圖.
(1)規定預賽成績不低于80分為優良,若從上述樣本中預賽成績不低于60分的學生中隨機地抽取2人,求恰有1人預賽成績優良的概率;
(2)由頻率分布直方圖可認為該市全體參加預賽學生的預賽成績Z服從正態分布N(μ,σ2),其中μ可近似為樣本中的100名學生預賽成績的平均值(同一組數據用該組區間的中點值代替),且σ2=362.利用該正態分布,估計全市參加預賽的全體學生中預賽成績不低于91分的人數;
(3)預賽成績不低于91分的學生將參加復賽,復賽規則如下:①每人的復賽初始分均為100分;②參賽學生可在開始答題前自行決定答題數量n,每一題都需要“花”掉(即減去)一定分數來獲取答題資格,規定答第k題時“花”掉的分數為0.1k(k∈(1,2n));③每答對一題加1.5分,答錯既不加分也不減分;④答完n題后參賽學生的最終分數即為復賽成績.已知學生甲答對每道題的概率均為0.7,且每題答對與否都相互獨立.若學生甲期望獲得最佳的復賽成績,則他的答題數量n應為多少?
(參考數據:;若Z~N(μ,σ2),則P(μ﹣σ<Z<μ+σ)≈0.6827,P(μ﹣2σ<Z<μ+2σ)≈0.9545,P(μ﹣3σ<Z<μ+3σ)≈0.9973.
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【題目】在平面直角坐標系中,直線
的參數方程為
(
為參數),直線
的參數方程為
(
為參數).設直線
與
的交點為
,當
變化時的點
的軌跡為曲線
.
(1)求出曲線的普通方程;
(2)以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,設射線
的極坐標方程為
且
,點
是射線
與曲線
的交點,求點
的極徑.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,平面α∩平面β=l,A,C是α內不同的兩點,B,D是β內不同的兩點,且A,B,C,D直線l,M,N分別是線段AB,CD的中點.下列判斷正確的是( 。
A.若ABCD,則MN
l
B.若M,N重合,則ACl
C.若AB與CD相交,且ACl,則BD可以與l相交
D.若AB與CD是異面直線,則MN不可能與l平行
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【題目】如圖,在四棱錐中,側面
為等邊三角形,且垂直于底面
,
,
分別是
的中點.
(1)證明:平面平面
;
(2)已知點在棱
上且
,求直線
與平面
所成角的余弦值.
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