Question

【題目】已知項數為的數列滿足條件：①；②；若數列滿足，則稱為數列的“關聯數列.

（1）數列1，5，9，13，17是否存在“關聯數列”？若存在，寫出其“關聯數列”，若不存在，請說明理由；

（2）若數列存在“關聯數列”，證明：；

（3）已知數列存在“關聯數列”，且，，求數列項數m的最小值與最大值.

Answer 1

【答案】（1）存在關聯數列：，10，9，8，7，理由見詳解；（2）證明見詳解；（3）m的最小值與最大值分別為和.

【解析】

（1）根據“關聯數列”定義求解判斷.

（2）根據“關聯數列”定義結合數列的單調性討論即可.

（3）根據數列和求“關聯數列”的項的特征結合單調性分析出，根據 求解.

（1）因為，

所以數列1，5，9，13，17存在“關聯數列”，10，9，8，7.

（2）因為數列存在“關聯數列”，

所以，

所以，

所以為遞減數列，

又因為，所以，

所以，

所以；

（3）因為數列存在“關聯數列”，

所以任意，，

因為，

所以，

，

由（2）知，

又，

所以，

解得，因為，

所以，

所以m的最小值與最大值分別為和.