Question

【題目】已知，其中是實常數(shù).

（1）若，求的取值范圍；

（2）若，求證：函數(shù)的零點有且僅有一個；

（3）若，設(shè)函數(shù)的反函數(shù)為，若是公差的等差數(shù)列且均在函數(shù)的值域中，求證：.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析；（3）證明見解析；

【解析】

（1）直接解不等式即可；

（2）說明函數(shù)是增函數(shù)，然后由，可得結(jié)論；

（3）首先不等式變形：，即

，而，問題轉(zhuǎn)化為證明是關(guān)于的減函數(shù)，即設(shè)，證明，利用反函數(shù)定義，設(shè)，由單調(diào)遞增可得之間的大小關(guān)系，得.

作兩個差，，并相減得，若，此式中分析左右兩邊出現(xiàn)矛盾，從而只能有，證得結(jié)論．

（1），所以，，易知，所以，所以.

（2）函數(shù)為增函數(shù)，且，由于.故在上必存在，使.又為增函數(shù)，所以函數(shù)的零點有且僅有一個.

（3）即證：.

，而，所以只需證是關(guān)于的減函數(shù).

設(shè)，即證※大于0

設(shè)，由單調(diào)遞增可得.

.

而，

兩式相減得，

①

同理②，

①-②得：

.

若，則上式左側(cè)，右側(cè)矛盾，故※.證畢.