Question

【題目】已知圓，為上任意一點(diǎn)，，的垂直平分線交于點(diǎn)，記點(diǎn)的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）已知點(diǎn)，過(guò)的直線交于兩點(diǎn)，證明：直線的斜率與直線的斜率之和為定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）由PF的中垂線可得GP＝GF，而GP+GE＝PE＝4，進(jìn)而可得G的軌跡為橢圓；且可得F，E為橢圓的焦點(diǎn)，PE的長(zhǎng)為長(zhǎng)軸長(zhǎng)，進(jìn)而求出橢圓的方程；（2）設(shè)直線MN的方程，與橢圓聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，進(jìn)而求出直線SM，SN的斜率之和，將之和及之積代入，由由于Q在直線上，可得參數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而可得斜率之和為定值．

（1）因?yàn)辄c(diǎn)在的垂直平分線上，所以.

而，

所以動(dòng)點(diǎn)滿足，

橢圓定義可知，點(diǎn)在以、為焦點(diǎn)的橢圓上，且，

所以，

所以曲線的方程為.

（2）由題意知直線斜率存在.

設(shè)其方程為，，，

聯(lián)立方程組代入消元并整理得：

，

則，.

，將直線方程代入，整理得：

，

韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)得：.

因?yàn)橹本�過(guò)點(diǎn)，所以，

代入，得.