Question

7．在四棱錐P-ABCD中，△ABC為正三角形，AB⊥AD，AC⊥CD，PA⊥平面ABCD，PC與平面ABCD所成角為45°
（1）若E為PC的中點，求證：PD⊥平面ABE；
（2）若CD=$\sqrt{3}$，求點B到平面PCD的距離．

Answer 1

分析 （1）利用線面垂直的判定與性質定理可得CD⊥平面PAC，CD⊥AE．利用等腰三角形的性質與線面垂直的判定定理可得：AE⊥平面PCD，可得AE⊥PD．利用面面垂直的性質定理與線面垂直的判定定理可得AB⊥PD，進而證明結論．
（2）設點B的平面PCD的距離為d，利用V_B-PCD=V_P-BCD即可得出．

解答 （1）證明：∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD．
∵AC⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC，而AE?平面PAC，∴CD⊥AE．
∵PC與平面ABCD所成角為45°
∴AC=PA，
∵E是PC的中點，∴AE⊥PC，又PC∩CD=C，∴AE⊥平面PCD，
而PD?平面PCD，∴AE⊥PD．
∵PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，又AB⊥AD，
由面面垂直的性質定理可得BA⊥平面PAD，AB⊥PD，
又AB∩AE=A，∴PD⊥平面ABE．
（2）解：CD=$\sqrt{3}$，可得AC=3，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，∴PC=3$\sqrt{2}$，
由（1）的證明知，CD⊥平面PAC，∴CD⊥PC，
∵AB⊥AD，△ABC為正三角形，∴∠CAD=30°，
∵AC⊥CD，∴CD=ACtan30°=$\sqrt{3}$．
設點B的平面PCD的距離為d，則V_B-PCD=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{2}$×$\sqrt{3}$×d=$\frac{\sqrt{6}}{2}$d．
在△BCD中，∠BCD=150°，∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$×3×$\sqrt{3}$sin150°=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
∴V_P-BCD=$\frac{1}{3}$×$\frac{3\sqrt{3}}{4}$×3=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∵V_B-PCD=V_P-BCD，∴$\frac{\sqrt{6}}{2}$d=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，解得d=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
即點B到平面PCD的距離為$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

點評 本題考查了空間位置關系、線面面面垂直的判定與性質定理、三棱錐的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．