Question

9．如圖，從左到右有5個空格．
（1）若向這5個格子填入0，1，2，3，4五個數，要求每個數都要用到，且第三個格子不能填0，則一共有多少不同的填法？
（2）若給這5個空格涂上顏色，要求相鄰格子不同色，現有紅黃藍3顏色可供使用，問一共有多少不同的涂法？
（3）若向這5個格子放入7個不同的小球，要求每個格子里都有球，問有多少種不同的放法？

Answer 1

分析 （1）根據題意，分2步進行分析：①、分析0，易得0有4種選法；②、將其余的4個數字全排列，安排在其他四個格子中，由分步計數原理計算可得答案，
（2）根據題意，依次分析5個格子的涂色方法數目，由分步計數原理計算可得答案；
（3）根據題意，分2步進行分析：①、將7個小球分成5組，有2種分法：即分成2-2-1-1-1的5組或分成3-1-1-1-1的5組，②、將分好的5組全排列，對應5個空格，由分步計數原理計算可得答案．

解答 解：（1）根據題意，分2步進行分析：
①、第三個格子不能填0，則0有4種選法；
②、將其余的4個數字全排列，安排在其他四個格子中，有A₄⁴種情況，
則一共有$4A_4^4=96$種不同的填法；
（2）根據題意，第一個格子有3種顏色可選，即有3種情況，
第二個格子與第一個格子的顏色不能相同，有2種顏色可選，即有2種情況，
同理可得：第三、四、五個格子都有2種情況，
則五個格子共有3×2×2×2×2=48種不同的涂法；
（3）根據題意，分2步進行分析：
①、將7個小球分成5組，有2種分法：
若分成2-2-1-1-1的5組，有$\frac{{C}_{7}^{2}{C}_{5}^{2}}{{A}_{2}^{2}}$種分法，
若分成3-1-1-1-1的5組，有C₇³種分組方法，
則有（$\frac{{C}_{7}^{2}{C}_{5}^{2}}{{A}_{2}^{2}}$+C₇³）種分組方法，
②、將分好的5組全排列，對應5個空格，有A₅⁵種情況，
則一共有$（\frac{C_7^2C_5^2}{A_2^2}+C_7^3）A_5^5=16800$種放法．

點評 本題考查排列、組合的實際應用，（3）要先分好5組，再對應放到5個格子中．