Question

10．已知等腰直角三角形RBC，其中∠RBC=90°，RB=BC=2，點A，D分別是RB，RC的中點，現將△RAD沿著邊AD折起到△PAD位置，使PA⊥AB，連結PB，PC．
（1）求C到平面PAB的距離；
（2）求直線PC與平面ABCD成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）根據線面位置關系，可分析出C到平面PAB的距離為線段BC．
（2）連接AC，∠PCA為直線PC與平面ABCD所成角．

解答 解：（1）由題知△RBC為以∠B=90°的等要直角三角形，
∵點A，D分別是RB，RC的中點
∴AD∥BC，即AD⊥BR
將△RAD沿著邊AD折起到△PAD位置
∴AD⊥PA，AD⊥AB
∴AD⊥平面PAB
又BC∥AD
∴BC⊥平面PAB
∴C到平面PAB的距離為BC=2
（2）∵PA⊥AB，PA⊥AD
∴PA⊥平面ABCD
∴PC在底面ABCD的投影為AC，
故連接AC．△PAC為RT△．
∵|AC|²=2²+1²=5，PA=AR=1
∴|PC|²=|AC|²+|PA|²=6
∴$sin∠PCA=\frac{PA}{PC}$=$\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$．
故直線PC與平面ABCD成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點評 考查點面距，線面角的定義及求法（定義法），考查線面位置關系的分析，分析到AD⊥平面PAB；PA⊥平面ABCD是解決問題的關鍵．本題屬于基礎題．