Question

已知（）

（1）若方程有3個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）在（1）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)，使得在上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，且滿足，若存在，求實(shí)數(shù)的值，若不存在，說(shuō)明理由．

 

Answer 1

（1）；（2）不存在，參考解析

【解析】

試題分析：（1）由已知（），若方程有3個(gè)不同的根，則可得到或對(duì)兩個(gè)方程分別討論即可到結(jié)論.

（2）在（1）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)，使得在上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，通過(guò)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，判斷導(dǎo)函數(shù)的根的情況，通過(guò)換元使得等式簡(jiǎn)潔些.要滿足，由于，所以可得，通過(guò)驗(yàn)證根是否存在.即可得到結(jié)論.

（1）【解析】
由得：或

可得或且

∵方程有3個(gè)不同的根，

∴方程有兩個(gè)不同的根

∴

又∵，且要保證能取到0∴ 即

∴．

（2）【解析】
∵

令，設(shè)

∴

∵ ∴ ∴

∵ ∴， ∴

∴存在，使得，另外有，使得

假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得在上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，且滿足

則存在，使得，另外有，即

∴，∴，即

即 （*）

設(shè)

∴

∵ ∴

∴ ∴在上是增函數(shù)

∴

∴方程（*）無(wú)解，

即不存在實(shí)數(shù)，使得在上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，且滿足

考點(diǎn)：1.函數(shù)與x軸的交點(diǎn)與方程的根的問(wèn)題.2.函數(shù)的極值.3.等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想.4.函數(shù)的最值問(wèn)題.