Question

20．已知函數(shù)h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{5-|x|（x≤5）}\\{（x-5）^{2}（x＞5）}\end{array}\right.$，函數(shù)φ（x）=m-h（5-x），其中m∈R，若函數(shù)：y=h（x）-φ（x）恰有4個零點，則m的取值范圍是（　　）

• A． （5，+∞）∪{$\frac{19}{4}$}
• B． （$\frac{19}{4}$，5）
• C． （0，4）
• D． （-∞，$\frac{19}{4}$）

Answer 1

分析 化簡函數(shù)h（5-x）=$\left\{\begin{array}{l}{5-|5-x|，x≥0}\\{{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，從而可得m=h（x）+f（5-x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+5，x＜0}\\{5，0≤x≤5}\\{{x}^{2}-11x+35，x＞5}\end{array}\right.$，函數(shù)的最小值為$\frac{19}{4}$，從而解得結論．

解答 解：∵函數(shù)h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{5-|x|（x≤5）}\\{（x-5）^{2}（x＞5）}\end{array}\right.$，
∴h（5-x）=$\left\{\begin{array}{l}{5-|5-x|，x≥0}\\{{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，
令y=h（x）-φ（x）=h（x）+h（5-x）-m=0，
則m=h（x）+f（5-x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+5，x＜0}\\{5，0≤x≤5}\\{{x}^{2}-11x+35，x＞5}\end{array}\right.$，函數(shù)的最小值為$\frac{19}{4}$，
當$\frac{19}{4}$＜m＜5時，函數(shù)：y=h（x）-φ（x）恰有4個零點，
故選B．

點評 本題考查了絕對值函數(shù)的化簡與應用，同時考查了學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．