Question

若半徑均為2的四個球，每個球都與其他三個球外切，另有一個小球與這四個球都外切，則這個小球的半徑為（　　）

• A、

  6

  -

  2

• B、

  6

  -2
• C、

  10

  -3
• D、2

  2

  -2

Answer 1

考點：球的體積和表面積

專題：計算題,空間位置關系與距離,球

分析：將這四個球的球心連接成一個正四面體，并根據四球外切，得到四面體的棱長為2，求出外接球半徑，由于這四個球之間有一個小球和這四個球都外切，則小球的球心與四面體外接球球心重合，進而再由小球與其它四球外切，球心距（即正四面體外接球半徑）等于大球半徑與小球半徑之和，得到答案．

解答： 解：連接四個球的球心，得到一個棱長為4的正四面體，
可將該正四面體補成一個正方體，設正方體的邊長為a，則有4=

2

a，
由正方體的對角線長即為球的直徑，可得

3

a=2r，
則該正四面體的外接球半徑為

6

，
若這四個球之間有一個小球和這四個球都外切，
則小球的球心與四面體的外接球球心重合，
因為由小球與其它四球外切，
所以球心距（即正四面體外接球半徑）等于大球半徑與小球半徑之和，
所以小球的半徑為

6

-2．
故選B．

點評：本題考查棱錐的結構特征，球的結構特征，其中根據已知條件求出四個半徑為2的球球心連接后所形成的正四面體的棱長及外接球半徑的長是解答本題的關鍵．