Question

已知函數(shù)f（x）=x²-alnx，a∈R．
（Ⅰ） 討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
（Ⅱ）若f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先求函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x＞0}，再求導(dǎo)f′(x)=2x-

a

x

=

2x2-a

x

；從而討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)以確定函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅱ）由f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增知f′(x)=

2x2-a

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，從而化為最值問(wèn)題．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)閧x|x＞0}；
f′(x)=2x-

a

x

=

2x2-a

x

；
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0恒成立，
f（x）在（0，+∞）上遞增；
當(dāng)a＞0時(shí)，x∈(0，

2a

2

)時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
x∈(

2a

2

，+∞)時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
（Ⅱ）∵f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f′(x)=

2x2-a

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，
∴a≤2x²，
即a≤2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．