Question

已知圓A：x²+（y+3）²=1和圓B：x²+（y-3）²=81都相切的動圓圓心C的軌跡方程是

 

．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由于動圓與兩個定圓都相切，可分兩類考慮，結合橢圓的定義，即可得出結論．

解答： 解：由題意，①若兩定圓與動圓相外切或都內切，
∴|CA|=|CB|，即C點在線段AB的垂直平分線上
又A，B的坐標分別為（0，-3）與（0，3）
∴其垂直平分線為x軸，
∴動圓圓心M的軌跡方程是y=0；
②若一內切一外切，與圓A：x²+（y+3）²=1外切，與圓B：x²+（y-3）²=81內切，則CB=9-r，CA=1+r，CB+CA=10＞6，由橢圓的定義知，點C的軌跡是以（0，-3）與（0，3）為焦點，以10為長軸長的橢圓，故可得b²=16，故此橢圓的方程為

y2

25

+

x2

16

=1．
綜①②知，動圓M的軌跡方程為

y2

25

+

x2

16

=1或y=0．
故答案為：

y2

25

+

x2

16

=1或y=0．

點評：本題考查圓與圓的位置關系，及垂直平分線的定義，考查橢圓的定義，考查分類討論的數學思想．