Question

（1）寫出函數f（x）=x²-8x+9在定義域內的單調遞增和遞減區間；
（2）研究函數f（x）=x⁴-8x²+9在定義域內的單調性，寫出它在定義域內的單調遞增區間，并簡要說明理由；
（3）對函數f（x）=x²+bx+c和f（x）=x⁴+bx²+c（其中常數b＜0）作推廣，使它們都是你所推廣的函數的特例，并研究推廣后函數的單調性，（只須寫出結論，不必證明）

Answer 1

考點：二次函數的性質,進行簡單的合情推理

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（1）根據二次函數的單調性即可寫出該函數的單調遞增和遞減區間；
（2）求f′（x）=4x（x²-4），所以可判斷f′（x）在（-∞，-2），[-2，0），[0，2]，（2，+∞）上的符號從而判斷出f（x）的單調性并求出其單調區間；
（3）可將該問中的兩個函數推廣為f（x）=x²ⁿ+bxⁿ+c，（b＜0，n∈N^*），通過求f′（x），根據導數符號即可判斷該函數的單調性并找出f（x）的單調區間．

解答： 解：（1）f（x）的對稱軸為x=4；
∴該函數的單調遞增區間為[4，+∞），單調遞減區間為（-∞，4）；
（2）f′（x）=4x³-16x=4x（x²-4）；
∴x∈（-∞，-2）時，f′（x）＜0，所以f（x）在（-∞，-2）上單調遞減；
x∈（-2，0）時，f′（x）＞0，所以f（x）在[-2，0）上單調遞增；
x∈（0，2）時，f′（x）＜0，所以f（x）在[0，2]上單調遞減；
x∈（2，+∞）時，f′（x）＞0，所以f（x）在（2，+∞）上單調遞增；
∴f（x）在定義域內的單調遞增區間為[-2，0），（2，+∞）；
（3）把f（x）=x²+bx+c，和f（x）=x⁴+bx²+c推廣為：
f（x）=x²ⁿ+bxⁿ+c，（b＜0，n∈N^*）；
f′（x）=2nx^2n-1+bnx^n-1=2nxn-1(xn+

b

2

)；
①若n為偶數，f（x）在（-∞，-

n	- b 2

]，（0，

n	- b 2

]上單調遞減，在[-

n	- b 2

，0），（

n	- b 2

，+∞）上單調遞增；
②若n為奇數，f（x）在（-∞，0），[0，

n	- b 2

]上單調遞減，在（

n	- b 2

，+∞）上單調遞增．

點評：考查二次函數的單調性，以及通過求導，根據導數符號判斷函數的單調性及找到單調區間的方法，要正確判斷f′（x）的符號．