Question

已知橢圓C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距為4且過點（

2

，-2）．
（1）求橢圓C方程；
（2）過橢圓上焦點的直線與橢圓C分別交于點E，F，求

OE

•

OF

的取值范圍．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質,平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）根據焦距求出焦點坐標（0，-2），（0，2），根據橢圓的定義點（

2

，-2）到兩焦點距離的和為2a，這樣即可求出a，b，從而求出橢圓方程；
（2）當直線不存在斜率時求出E，F坐標，從而求出

OE

•

OF

；當存在斜率時，設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），設直線方程為y=kx+2，聯立橢圓的方程利用韋達定理可求x₁+x₂，x₁•x₂，從而求得

OE

•

OF

=

20

2+k2

-8，所以-8＜

OE

•

OF

≤2．

解答： 解：（1）橢圓C：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)焦距是4，所以焦點坐標是（0，-2），（0，2）；
∴2a=

2+0

+

2+(2+2)2

=4

2

，所以a=2

2

，b=2；
即橢圓橢圓C的方程是

x2

4

+

y2

8

=1；
（2）不妨設l過橢圓的上焦點，若直線l垂直x軸，則點E(0，2

2

)，F(0，-2

2

)，

OE

•

OF

=-8；
若直線l不垂直x軸，設l的方程為y=kx+2，設點E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）；
將直線l的方程代入橢圓C的方程得到：（2+k²）x²+4kx-4=0；
則x1+x2=

-4k

2+k2

，x1x2=

-4

2+k2

；
所以

OE

•

OF

=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=

-4-4k2

2+k2

+

-8k2

2+k2

+4=

20

2+k2

-8
因為0＜

20

2+k2

≤10，所以-8＜

OE

•

OF

≤2；
所以：

OE

•

OF

的取值范圍是[-8，2]．

點評：考查橢圓的標準方程，橢圓的焦距、焦點的概念，橢圓的定義，直線的點斜式方程，以及韋達定理，向量數量積的坐標運算．