Question

已知橢圓E：

x2

a2+1

+

y2

a2

=1（a＞0）的離心率為

1

2

，過點（a²+1，0）且斜率為k（k≠0）的動直線l與橢圓相交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）兩點，點P關于x軸的對稱點為P′，線段PQ的中點為M（x₀，y₀）．
（Ⅰ）求實數a的值；
（Ⅱ）證明：直線P′Q過x軸上一定點，并求該定點的坐標；
（Ⅲ）若點M落在橢圓3x²+y²=3的上頂點和左右頂點組成的三角形內部（不包括邊界），求實數k的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）求出c，利用橢圓E：

x2

a2+1

+

y2

a2

=1（a＞0）的離心率為

1

2

，求實數a的值；
（Ⅱ）y=k（x-4）代入橢圓方程，利用韋達定理，確定直線P′Q的方程，即可得出直線P′Q過x軸上一定點；（Ⅲ）確定M（

16k2

3+4k2

，

12k

3+4k2

），M在y軸右側，直線BD₂的方程，利用點M落在橢圓3x²+y²=3的上頂點和左右頂點組成的三角形內部（不包括邊界），建立不等式，即可求實數k的取值范圍．

解答： （Ⅰ）解：由題意，c=1，
∴

1

a2+1

=

1

2

，
∴a=

3

；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．P′（x₁，-y₁），
∴直線P′Q為y-（-y₁）=

y2-(-y1)

x2-x1

（x-x₁），
y=k（x-4）代入橢圓方程可得（3+4k²）x-32k²x+64k²-12=0，
∴x₁+x₂=

32k2

3+4k2

，x₁x₂=

64k2-12

3+4k2

，
令y=0，則x=

2x1x2-4(x1+x2)

x1+x2-8

=1，
∴直線P′Q過x軸上一定點（1，0）；
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，M（

16k2

3+4k2

，

12k

3+4k2

），
△=（-32k²）²-4×（3+4k²）×（64k²-12）＞0，∴-

1

2

＜k＜

1

2

，
橢圓3x²+y²=3的上頂點為B（0，

3

），和左右頂點分別為D₁（-1，0），D₂（1，0）
直線BD₂的方程為x+

y

3

=1，
∵

16k2

3+4k2

＞0，∴M在y軸右側，
∵點M落在橢圓3x²+y²=3的上頂點和左右頂點組成的三角形內部（不包括邊界），
∴

12k

3+4k2

＞0且

16k2

3+4k2

+

1

3

×

12k

3+4k2

＜1，
∴-

3

6

＜k＜0，
∵-

1

2

＜k＜

1

2

，
∴-

3

6

＜k＜0．

點評：本題考查橢圓的方程與性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，有難度．