Question

15．設$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$為單位向量，若$\overrightarrow c$滿足|${\overrightarrow c$-（${\overrightarrow a$+$\overrightarrow b}$）|=|${\overrightarrow a$-$\overrightarrow b}$|，則|${\overrightarrow c}$|的最大值為2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由題意可得|$\overrightarrow{c}$|≤|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|+|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，故當且僅當$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$時，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|+|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|取得最小值為2$\sqrt{2}$，從而求得|$\overrightarrow{c}$|的最大值．

解答 解：設$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$為單位向量，若$\overrightarrow c$滿足|${\overrightarrow c$-（${\overrightarrow a$+$\overrightarrow b}$）|=|${\overrightarrow a$-$\overrightarrow b}$|≥|$\overrightarrow{c}$|-|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|，即|$\overrightarrow{c}$|≤|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|+|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，
當且僅當$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$時，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|+|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|取得最小值為2$\sqrt{2}$，
∴|$\overrightarrow{c}$|的最大值為2$\sqrt{2}$，
故答案為：2$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查了向量模的運算性質、向量的平行四邊形法則及其向量垂直的性質的運用，屬于中檔題．