Question

5．已知點F（x，y）與兩定點M（-1，0），N（1，0）連線的斜率之積等于常數λ（λ≠0）．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）試根據λ的取值情況討論軌跡C的形狀．

Answer 1

分析 （1）利用點F（x，y）與兩定點M（-1，0），N（1，0）連線的斜率之積等于常數λ（λ≠0），建立方程，即可求動點P的軌跡C的方程；
（2）根據λ的取值情況討論軌跡C的形狀．

解答 解．（1）由題意k_PM，k_PN存在且不為零，
由${k_{PM}}•{k_{PN}}=\frac{y}{x+1}•\frac{y}{x-1}=λ$，得${x^2}-\frac{y^2}{λ}=1（λ≠0，x≠±1）$
即為動點P的軌跡C的方程；                                         （6分）
（2）①當λ＞0時，軌跡C為中心在原點．焦點在x軸上的雙曲線（除去頂點）；
②當-1＜λ＜0時，軌跡C為中心在原點．焦點在x軸上的橢圓（除去長軸上的兩個端點）；
③當λ=-1時，軌跡C為以原點為圓心1為半徑的圓（除去點（-1，0），（1，0））；
④當λ＜-1時，軌跡C為中心在原點．焦點在y軸上的橢圓（除去短軸上的兩個端點）．（12分）

點評 本題考查軌跡方程，考查分類討論的數學思想，確定軌跡方程是關鍵．