Question

15．設點P（x，y）在圓x²+（y-1）²=1上．
（1）求$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$的最小值；
（2）求$\frac{y+2}{x+1}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$，表示（x，y）與（2，0）的距離，圓心與（2，0）的距離為$\sqrt{5}$，即可求出$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$的最小值是$\sqrt{5}$-1．
（2）設$\frac{y+2}{x+1}$=k，即kx-y-2+k=0，利用圓心到直線的距離小于等于半徑，即可得出結論．

解答 解：（1）$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$，表示（x，y）與（2，0）的距離，圓心與（2，0）的距離為$\sqrt{5}$，
∴$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$的最小值是$\sqrt{5}$-1．
（2）設$\frac{y+2}{x+1}$=k，即kx-y-2+k=0，
圓心到直線的距離$\frac{|k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤1，∴k≥$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{y+2}{x+1}$的最小值是$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查直線與圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．